গ্রাফ ও স্থানাঙ্ক

• কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করতে পারবে।
• একঘাত ও দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ আঁকতে পারবে।
• ঢাল ও y-ছেদের অর্থ ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• গ্রাফ দেখেই ফাংশনের আচরণ অনুমান করতে পারবে।

ফাংশন কী, সেটা বোঝা।

১৭শ শতকে দেকার্ত বললেন — প্রতিটি বিন্দু দু’টি সংখ্যা দিয়ে চেনা যায়: কতটা ডানে (x) আর কতটা উপরে (y)। তখন থেকেই বীজগণিত ও জ্যামিতি এক ভাষায় কথা বলছে।

(৩, ২) মানে ‘x-অক্ষ বরাবর ৩ ডানে, y-অক্ষ বরাবর ২ উপরে’। অক্ষ দুটো কাটে যেখানে — সেটি মূলবিন্দু (০, ০)।

এক ঘাত ফাংশনের গ্রাফ সরলরেখা। m হলো ঢাল (slope) — কতটা খাড়া। b হলো y-ছেদ (intercept) — রেখা y-অক্ষকে কোথায় কাটে।

m > ০ → উপরে চড়ে। m < ০ → নিচে নামে। m = ০ → অনুভূমিক। m অসীম → উল্লম্ব।

দ্বিঘাতের গ্রাফ U-আকৃতির। a > ০ → মুখ উপরে (হাসিমুখ), a < ০ → মুখ নিচে (মন খারাপ)।

শীর্ষবিন্দু (vertex) x = −b/(২a) -এ। এটিই সর্বনিম্ন (a > ০) বা সর্বোচ্চ (a < ০) বিন্দু।

ক্যালকুলাসে অপ্টিমাইজেশন মানে শীর্ষবিন্দু খোঁজা — যেখানে ঢাল = ০।

• y = 1/x — হাইপারবোলা, x = ০ ও y = ০ অ্যাসিম্পটোট।
• y = √x — শুধু ডান অর্ধ, অর্ধ-প্যারাবোলার মতো।
• y = eˣ — দ্রুত উপরে ওঠে, কখনো ০-এর নিচে নামে না।
• y = ln x — শুধু x > ০, ধীরে ধীরে উপরে যায়।
• y = sin x — −১ থেকে ১, পর্যায়কাল ২π।

• f(x) + c — উপরে c ধাপ।
• f(x − c) — ডানে c ধাপ।
• −f(x) — x-অক্ষের সাপেক্ষে উল্টানো।
• f(−x) — y-অক্ষের সাপেক্ষে উল্টানো।
• a · f(x) — উল্লম্বভাবে |a| গুণ লম্বা।

Loss landscape — মডেলের প্যারামিটার বনাম লসের গ্রাফ। গ্রেডিয়েন্ট ডিসেন্ট মানে এই বহুমাত্রিক ‘পাহাড়-উপত্যকা’য় নিচের দিকে হাঁটা।

Activation function-গুলো (ReLU, sigmoid, tanh) সবই গ্রাফ — তাদের আকৃতি বুঝলে নেটওয়ার্কের আচরণ ভবিষ্যদ্বাণী করা যায়।

গ্রাফ = ফাংশনের ছবি। ঢাল, ছেদ, শীর্ষবিন্দু, অ্যাসিম্পটোট — কয়েকটি ধারণাই অনেক ফাংশনের চরিত্র খুলে দেয়। ক্যালকুলাসের প্রতিটি ধারণা — লিমিট, অন্তরজ, সমাকল — গ্রাফের ভাষায় দেখলে অনেক সহজ।