পর্ব ১৪ · ভেক্টর ক্যালকুলাস

ডাইভারজেন্স

ভেক্টর ক্ষেত্রের উৎস বা সিঙ্ক

শেখার লক্ষ্য

ভেক্টর ক্ষেত্র বোঝা
∇·F-এর সংজ্ঞা ও ব্যাখ্যা
Divergence theorem-এর ধারণা

ভেক্টর ক্ষেত্র

ভেক্টর ক্ষেত্র F(x, y, z) = (P, Q, R) প্রতিটি বিন্দুতে একটি ভেক্টর বরাদ্দ করে — যেমন বাতাসের প্রবাহ, চৌম্বক ক্ষেত্র।

ডাইভারজেন্সের সংজ্ঞা

\nabla \cdot \mathbf{F} = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y + \partial R/\partial z

এটি একটি স্কেলার। জ্যামিতিক অর্থ: একটি বিন্দু থেকে কতটা ‘ফ্লাক্স’ বের হচ্ছে।

Divergence Theorem (Gauss)

\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \oiint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A}

একটি আয়তনের ভিতরের ডাইভারজেন্সের যোগফল = পৃষ্ঠ দিয়ে বেরোনো ফ্লাক্স।

এআই-সংযোগ

Continuous Normalizing Flows ও Neural ODE-তে log-density পরিবর্তন trace(∂f/∂x) = ∇·f দ্বারা নির্ণীত। Diffusion models-এ score function ∇log p(x)-এর divergence গণনার মাধ্যমে probability flow ODE গঠিত হয়।

সারসংক্ষেপ

∇·F = উৎস/সিঙ্ক পরিমাপ।
Gauss theorem: আয়তন সমাকল ↔ পৃষ্ঠ ফ্লাক্স।
Fluid dynamics, electromagnetism-এর মূল।