আয়তন

• ডিস্ক/ওয়াশার পদ্ধতিতে আয়তন নির্ণয় করতে পারবে।
• সিলিন্ড্রিক্যাল শেল পদ্ধতি বুঝতে ও প্রয়োগ করতে পারবে।
• জ্যামিতিক আকারের (cross-section) সাথে সমাকলের সংযোগ দেখতে পারবে।

ক্ষেত্রফলের সমাকল, বৃত্তের ক্ষেত্রফল πr², বেলনের আয়তন।

y = f(x) বক্ররেখাকে x-অক্ষের চারদিকে ঘোরালে যে solid তৈরি হয়, তার আয়তন:

ইনটুইশন: x-এর প্রতিটি বিন্দুতে একটি বৃত্তাকার ডিস্ক তৈরি হয় যার ব্যাসার্ধ r = f(x), ক্ষেত্রফল πr², প্রস্থ dx। সব ডিস্কের আয়তনের সমাকল = মোট solid-এর আয়তন।

উদাহরণ: y = √x, [0, 4] ঘোরালে:

দুটি ফাংশনের মধ্যে আবদ্ধ অংশ ঘোরালে hollow solid তৈরি হয় — মধ্যে ছিদ্র থাকে। আয়তন = বাইরের ডিস্ক minus ভেতরের ডিস্ক:

R(x) = বাইরের ব্যাসার্ধ, r(x) = ভেতরের ব্যাসার্ধ।

উদাহরণ: y = x ও y = x², [0, 1] ঘোরালে:

কখনো ডিস্ক পদ্ধতি জটিল হয় (যেমন y-অক্ষ বরাবর ঘোরালে x = f(y) আকারে লিখতে হয়)। তখন cylindrical shell সহজ:

ইনটুইশন: x দূরত্বে একটি সরু বেলনাকার শেল, উচ্চতা f(x), প্রস্থ dx, পরিধি 2πx। শেলের আয়তন = 2πx · f(x) · dx।

y-অক্ষের সমান্তরাল plane দিয়ে solid কাটলে যদি জ्ञাত আকার (যেমন বর্গক্ষেত্র, সমবাহু ত্রিভুজ) পাওয়া যায়:

A(x) = x-এ cross-sectional ক্ষেত্রফল। উদাহরণ: একটি তির্যক্স্থ অর্ধবৃত্তাকার base-এর উপর সমবাহু ত্রিভুজাকার cross-section।

Cavalieri’s Principle বলে: সমান উচ্চতার প্রতিটি স্তরে cross-sectional ক্ষেত্রফল সমান হলে দুটি solid-এর আয়তন সমান। এটি সমাকল V = ∫ A(x) dx-এর ভিত্তি — কেবল cross-sectional ক্ষেত্রফলের যোগফলই মোট আয়তন নির্ধারণ করে।

High-dimensional integral (যেমন Gaussian mixture models)-এ Monte Carlo sampling ব্যবহার করে volume/probability আনুমান করা হয়। Variational autoencoder (VAE)-তে latent space-এর probability volume নির্ণয়ে উচ্চ-মাত্রিক সমাকলের ধারণা কাজে লাগে।

• ডিস্ক: V = π ∫ [f(x)]² dx — x-অক্ষ বরাবর ঘোরানো।
• ওয়াশার: V = π ∫ (R² − r²) dx — দুটি ফাংশনের মধ্যে।
• শেল: V = 2π ∫ x f(x) dx — y-অক্ষ বরাবর ঘোরানোর জন্য সহজ।
• জ्ञাত cross-section: V = ∫ A(x) dx।