চাপের দৈর্ঘ্য

• চাপদৈর্ঘ্যের সূত্র πমাণ ও ব্যবহার করতে পারবে।
• dy/dx ও dx/dy উভয় আকারে সূত্র প্রয়োগ করতে পারবে।
• প্যারামেট্রিক ও পোলার সমীকরণের চাপদৈর্ঘ্য জানবে।

সমাকলন সূত্র, চেইন রুল, প্যারামেট্রিক সমীকরণ।

বক্ররেখার দৈর্ঘ্য কীভাবে মাপব? সরল রেখায় যোগ করে আনুমানিক দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়। কিন্তু n → ∞ হলে আনুমানিক দৈর্ঘ্য সঠিক মানে পৌঁছায়।

প্রতিটি ছোট অংশকে hypotenuse হিসেবে ধরলে (Pythagoras):

Δx → 0 হলে:

y = f(x) বক্ররেখার [a, b] ব্যবধানে দৈর্ঘ্য:

x = g(y) হলে: s = ∫꜀ᵈ √(1 + [g′(y)]²) dy

[0, 4] ব্যবধানে:

dy/dx = (3/2)x^(1/2), (dy/dx)² = (9/4)x

x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β হলে:

এটি (ds/dt)² = (dx/dt)² + (dy/dt)² — Pythagoras-এর বেগের সংস্করণ।

বৃত্তের উদাহরণ: x = r cos t, y = r sin t, 0 ≤ t ≤ 2π:

চাপদৈর্ঘ্যের সূত্রে √(1 + (f′)²) ফাংশনের গড় মান:

Mean Value Theorem for Integrals অনুসারে, [a, b]-এ কোনো c আছে যেখানে √(1 + [f′(c)]²) = s/(b−a) — অর্থাৎ কোথাও বক্ররেখার 'স্ট্রেচ ফ্যাক্টর' গড় মানের সমান।

Bezier curves ও splines-এর arc length নির্ণয় computer graphics-এ অ্যানিমেশন ও ফন্ট রেন্ডারিং-এ প্রয়োজনীয়। Path planning-এ ন্যূনতম দূরত্বের ট্রাজেক্টরি নির্ণয়ে variational calculus (arc length functional-এর সাধারণীকরণ) ব্যবহৃত হয়।

• s = ∫ √(1 + (dy/dx)²) dx — মৌলিক চাপদৈর্ঘ্য সূত্র।
• x = g(y) হলে dy-তে রূপান্তর করো।
• প্যারামেট্রিক: s = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt।
• বৃত্ত: s = 2πr — সূত্র যাচাই করে।