পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

• ঘূর্ণন দ্বারা সৃষ্ট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সূত্র বের করতে ও প্রয়োগ করতে পারবে।
• চাপদৈর্ঘ্য ও পৃষ্ঠতলের গভীর সংযোগ বুঝবে।
• Gabulus (গ্যাব্রিয়েল) শঙ্কু ও অন্যান্য ক্লাসিক উদাহরণ সমাধান করতে পারবে।

চাপদৈর্ঘ্য, ডিস্ক পদ্ধতি, সমাকলন কৌশল।

y = f(x), a ≤ x ≤ b, x-অক্ষ বরাবর ঘোরালে পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল:

ইনটুইশন: প্রতিটি বিন্দুতে একটি 'ব্যান্ড' তৈরি হয় যার পরিধি 2πf(x) (ব্যাসার্ধ = f(x)) এবং প্রস্থ = চাপদৈর্ঘ্য ds = √(1 + (f′)²) dx। ব্যান্ডের ক্ষেত্রফল = পরিধি × প্রস্থ।

x = g(y), c ≤ y ≤ d, y-অক্ষ বরাবর ঘোরালে:

এখানে ব্যাসার্ধ = x = g(y), এবং ds = √(1 + (dx/dy)²) dy।

y = √(r² − x²), [−r, r] ঘোরালে গোলক তৈরি হয়।

dy/dx = −x/√(r² − x²), 1 + (dy/dx)² = r²/(r² − x²)

√(r² − x²) বিলোপ হয়ে যায় — বাকি থাকে সরল সমাকল। এটি সূত্রের সৌন্দর্য।

y = 1/x, [1, ∞) ঘোরালে:

আয়তন: V = π ∫₁^∞ (1/x)² dx = π [−1/x]₁^∞ = π — সীমিত!

কিন্তু পৃষ্ঠতল: S = 2π ∫₁^∞ (1/x)√(1 + 1/x⁴) dx ≥ 2π ∫₁^∞ (1/x) dx = ∞ — অসীম!

Similar solids-এর জন্য: পৃষ্ঠতল ∝ আয়তন^(2/3)। কিন্তু সমাকলন দিয়ে যেকোনো আকারের জন্য নিখুঁত অনুপাত নির্ণয় করা যায়।

Pappus Centroid Theorem বলে: ঘূর্ণন দ্বারা সৃষ্ট পৃষ্ঠতল = বক্ররেখার দৈর্ঘ্য × centroid-এর ঘূর্ণনপথের দূরত্ব (2πȳ)।

এটি সমাকলন না করেই কিছু ক্ষেত্রে দ্রুত উত্তর দেয় — centroid জানা থাকলে।

Computer graphics-তে NURBS surfaces ও subdivision surfaces-এর area estimation-এ উচ্চ-ক্রম সমাকলনের কৌশল ব্যবহৃত হয়। Medical imaging-তে 3D reconstruction-এ organ surface area নির্ণয়ে Riemann sum approach কাজে লাগে।

• S = 2π ∫ y √(1 + (dy/dx)²) dx — x-অক্ষ বরাবর ঘোরালে।
• S = 2π ∫ x √(1 + (dx/dy)²) dy — y-অক্ষ বরাবর।
• মূল ধারণা: ব্যান্ড ক্ষেত্রফল = পরিধি × চাপদৈর্ঘ্য (ds)।
• Pappus Theorem: S = 2πȳ · s — centroid জানা থাকলে দ্রুত।
• Gabriel's Horn: সীমিত আয়তন, অসীম পৃষ্ঠতল।