ক
কলন

পর্ব ২২ · গবেষণা-স্তরের ক্যালকুলাস

মেজার থিওরি সংক্ষেপ

Lebesgue integral ও প্রোবাবিলিটির ভিত্তি

শেখার লক্ষ্য

  • σ-algebra ও measure
  • Lebesgue vs Riemann integral
  • Probability = measure

কেন মেজার?

Riemann integral ‘pathological’ ফাংশনে (যেমন Dirichlet) ব্যর্থ। Lebesgue integral আরও বিস্তৃত class-কে integrable করে।

σ-Algebra ও Measure

σ-algebra 𝓕: সেটের সংগ্রহ যা complement ও countable union-এ closed।

Measure μ: 𝓕 → [0, ∞] যা countably additive।

Lebesgue measure ℝ-এ interval [a,b]-কে দেয় b−a।

Lebesgue Integral

Riemann domain partition করে, Lebesgue range partition করে।

\int f\,d\mu = \sup\left\{\textstyle\sum a_i\,\mu(A_i):\ \sum a_i \mathbf{1}_{A_i} \le f\right\}

Monotone Convergence, Dominated Convergence, Fatou-র Lemma — শক্তিশালী টুল।

Probability = Measure

Sample space Ω, σ-algebra 𝓕, probability measure ℙ (ℙ(Ω)=1)।

Random variable = measurable function; expectation = Lebesgue integral।

এআই-সংযোগ

KL divergence, mutual information — measure-theoretic densities (Radon–Nikodym derivative)।

Diffusion model-এ measure-পরিবর্তন (change of variables) মৌলিক।

Optimal transport (Wasserstein) প্রোবাবিলিটি measure-এর জ্যামিতি — WGAN, flow matching-এ ব্যবহৃত।