ক্ষেত্রফল

• একটি ফাংশন ও অক্ষের মধ্যে ক্ষেত্রফল সমাকল দিয়ে নির্ণয় করতে পারবে।
• দুটি ফাংশনের মধ্যে আবদ্ধ ক্ষেত্রফল বের করতে পারবে।
• রিম্যান সমাকলনের ধারণা দিয়ে ক্ষেত্রফলের সূত্র ব্যাখ্যা করতে পারবে।

সমাকলনের মৌলিক সূত্র, ফাংশনের চিহ্ন, গ্রাফ অঙ্কন।

আমরা জানি, [a, b] ব্যবধানে f(x) ≥ 0 হলে বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফল:

এই সূত্রের পেছনের ইনটুইশন হলো: ক্ষেত্রফলকে অসীম সংখ্যক অতি সরু আয়তক্ষেত্রে ভাগ করা—প্রতিটির প্রস্থ Δx, উচ্চতা f(xᵢ*)। n → ∞ হলে লম্বাটে আয়তগুলোর যোগফল ক্রমশ সঠিক ক্ষেত্রফলে পৌঁছায়।

যদি f(x) < 0, তবে y = f(x) অক্ষের নিচে থাকে। এই অংশের ক্ষেত্রফল সমাকলে ঋণাত্মক আসে।

মোট আবদ্ধ ক্ষেত্রফল = |∫ (ঋণাত্মক অংশ)| + ∫ (ধনাত্মক অংশ) — অর্থাৎ চিহ্ন বিবেচনা না করে পরম মানে যোগ।

y = f(x) ও y = g(x) এর মধ্যে [a, b] ব্যবধানে ক্ষেত্রফল, যেখানে f(x) ≥ g(x):

এটি দুটি পৃথক ক্ষেত্রফলের পার্থক্য হিসেবেও ভাবা যায়: f-এর নিচের ক্ষেত্রফল minus g-এর নিচের ক্ষেত্রফল।

উদাহরণ: y = x² ও y = x এর মধ্যে [0, 1]-এ ক্ষেত্রফল:

কখনো কখনো x = f(y) ও x = g(y) আকারে সমাকল সহজ হয়। উপযুক্ত যখন ফাংশনটি y-এর ফাংশন হিসেবে সহজ এবং সীমাবদ্ধতা স্পষ্ট।

উদাহরণ: x = y² ও x = y + 2 এর মধ্যে ক্ষেত্রফল y-এ সমাকল করলে সরল।

n সংখ্যক সংখ্যার গড় = (যোগফল)/n। [a, b]-এ f(x)-এর গড় মান তাই:

যোগের জায়গায় সমাকল (অসীম যোগ), n-এর জায়গায় (b−a)/Δx।

উদাহরণ: f(x) = x², [0, 3]-এ গড় = (1/3) ∫₀³ x² dx = (1/3)(9) = 3। এমন c আছে যেখানে c² = 3 → c = √3 ≈ 1.732।

Receiver Operating Characteristic (ROC) curve-এর নিচের ক্ষেত্রফল (AUC) মডেলের দক্ষতার পরিমাপ। Probability density function-এর নির্দিষ্ট ব্যবধানে সমাকল = probability — যা Bayesian inference-এ কেন্দ্রীয়।

• ∫ₐᵇ f(x) dx = বক্ররেখার নিচের চিহ্নযুক্ত ক্ষেত্রফল।
• মোট আবদ্ধ ক্ষেত্রফল = ∫ |f(x)| dx।
• দুটি ফাংশনের মধ্যে = ∫ (উপরের − নিচের) dx।
• f_avg = (1/(b−a)) ∫ₐᵇ f(x) dx — Mean Value Theorem অনুসারে কোথাও f(c) = f_avg।