অসীম ধারা

• ধারা ও আংশিক যোগফল বোঝা
• জ্যামিতিক ও হারমোনিক ধারা
• অভিসারিতা পরীক্ষা

অনুক্রম {aₙ}-এর সকল পদ যোগ করলে পাই ধারা: Σaₙ = a₁ + a₂ + a₃ + …

আংশিক যোগফল: Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ। যদি lim Sₙ = S থাকে, ধারা S-এ অভিসারী।

Σ arⁿ = a/(1−r), যখন |r| < 1।

|r| ≥ 1 হলে অপসারী।

Σ 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + … = ∞ (অপসারী, যদিও পদ → 0)।

তবে Σ 1/n² = π²/6 — অভিসারী (Basel সমস্যা)।

• n-th term test: aₙ ↛ 0 হলে অপসারী।
• Integral test: f(x) ধনাত্মক, হ্রাসমান হলে ∫f আর Σf(n) একই আচরণ।
• Ratio test: lim |aₙ₊₁/aₙ| < 1 হলে অভিসারী।
• Comparison test: ছোট-বড় ধারার সাথে তুলনা।

Neural network-এর regularization-এ Σ wᵢ² (L2 penalty) একটি ধারা। RNN-এ gradient-এর ধারা অভিসারিতা না হলে exploding/vanishing gradient সমস্যা দেখা দেয়। Reinforcement learning-এ discounted reward Σγᵗrₜ একটি জ্যামিতিক ধারা।

• ধারা = অসীম যোগফল; আংশিক যোগফলের সীমা দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
• জ্যামিতিক: |r|<1 হলে a/(1−r)।
• হারমোনিক অপসারী, p-series Σ1/nᵖ p>1 হলে অভিসারী।