পর্ব ১২ · অনুক্রম ও ধারা

অসীম ধারা

অসীম সংখ্যক পদের যোগফল

শেখার লক্ষ্য

ধারা ও আংশিক যোগফল বোঝা
জ্যামিতিক ও হারমোনিক ধারা
অভিসারিতা পরীক্ষা

ধারা মানে কী?

অনুক্রম {aₙ}-এর সকল পদ যোগ করলে পাই ধারা: Σaₙ = a₁ + a₂ + a₃ + …

আংশিক যোগফল: Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ। যদি lim Sₙ = S থাকে, ধারা S-এ অভিসারী।

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n

জ্যামিতিক ধারা

Σ arⁿ = a/(1−r), যখন |r| < 1।

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots = 2

|r| ≥ 1 হলে অপসারী।

হারমোনিক ধারা

Σ 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + … = ∞ (অপসারী, যদিও পদ → 0)।

তবে Σ 1/n² = π²/6 — অভিসারী (Basel সমস্যা)।

অভিসারিতা পরীক্ষা

n-th term test: aₙ ↛ 0 হলে অপসারী।
Integral test: f(x) ধনাত্মক, হ্রাসমান হলে ∫f আর Σf(n) একই আচরণ।
Ratio test: lim |aₙ₊₁/aₙ| < 1 হলে অভিসারী।
Comparison test: ছোট-বড় ধারার সাথে তুলনা।

এআই-সংযোগ

Neural network-এর regularization-এ Σ wᵢ² (L2 penalty) একটি ধারা। RNN-এ gradient-এর ধারা অভিসারিতা না হলে exploding/vanishing gradient সমস্যা দেখা দেয়। Reinforcement learning-এ discounted reward Σγᵗrₜ একটি জ্যামিতিক ধারা।

সারসংক্ষেপ

ধারা = অসীম যোগফল; আংশিক যোগফলের সীমা দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
জ্যামিতিক: |r|<1 হলে a/(1−r)।
হারমোনিক অপসারী, p-series Σ1/nᵖ p>1 হলে অভিসারী।