পর্ব ১২ · অনুক্রম ও ধারা
অভিসারিতা পরীক্ষাসমূহ
অসীম যোগফল সত্যিই finite মানে পৌঁছায় কি না নির্ণয়ের toolbox।
শেখার লক্ষ্য
- nth-term, comparison ও integral test বাছাই
- ratio ও root test প্রয়োগ
- absolute বনাম conditional convergence আলাদা
- alternating-series error bound ব্যবহার
পূর্বপ্রয়োজন
অনুক্রম, অসীম ধারা ও improper integral।
প্রথম পরীক্ষা ও benchmark
∑aₙ converge করলে অবশ্যই aₙ→0; converse সত্য নয়—harmonic series counterexample। Geometric ∑arⁿ converge করে যখন |r|<1। p-series ∑1/nᵖ converge করে যখন p>1।
Comparison ও integral test
Positive term-এর জন্য পরিচিত benchmark-এর সাথে direct বা limit comparison করো। f positive, continuous, decreasing হলে ∑f(n) ও ∫f(x)dx একই সাথে converge বা diverge করে।
Ratio ও root test
- L<1: absolutely convergent।
- L>1 বা ∞: divergent।
- L=1: test inconclusive।
Factorial ও exponential থাকলে ratio; nth power থাকলে root test সুবিধাজনক।
Alternating ও absolute convergence
bₙ decreasing এবং bₙ→0 হলে ∑(−1)ⁿbₙ converges। Error পরবর্তী বাদ দেওয়া term-এর চেয়ে বড় নয়। ∑|aₙ| converge করলে absolute; শুধু ∑aₙ converge করলে conditional।