পর্ব ১৪ · ভেক্টর ক্যালকুলাস

কার্ল

ভেক্টর ক্ষেত্রের ঘূর্ণন পরিমাপ

শেখার লক্ষ্য

∇×F-এর সংজ্ঞা
জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
Stokes' theorem

কার্ল কী?

\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)

একটি ভেক্টর — দিক = ঘূর্ণনের অক্ষ, দৈর্ঘ্য = ঘূর্ণনের তীব্রতা।

Stokes' Theorem

\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A}

একটি লুপের চারপাশে রেখা সমাকল = লুপের ভিতরের curl-এর পৃষ্ঠ সমাকল।

Conservative ক্ষেত্র

∇×F = 0 হলে F = ∇φ (একটি স্কেলার potential-এর gradient)। তখন রেখা সমাকল path-independent।

এআই-সংযোগ

Symplectic integrators ও Hamiltonian neural networks-এ curl-free vector field গুরুত্বপূর্ণ। Score-based generative model-এ ∇log p-একটি conservative field (curl = 0), যা গাণিতিকভাবে নিশ্চিত করে এটি বৈধ density-এর gradient।

সারসংক্ষেপ

∇×F = ঘূর্ণনের পরিমাপক ভেক্টর।
Stokes: লুপ সমাকল ↔ curl-এর পৃষ্ঠ সমাকল।
∇×F = 0 ⇒ conservative; potential থাকে।