পর্ব ১২ · অনুক্রম ও ধারা

টেইলর ধারা

যেকোনো মসৃণ ফাংশনকে বহুপদী হিসেবে প্রকাশ

শেখার লক্ষ্য

একটি মসৃণ ফাংশন f(x)-কে x = a বিন্দুর চারপাশে বহুপদী আকারে প্রকাশ করা যায়:

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n

এটি স্থানীয়ভাবে ফাংশনের আচরণ বহুপদী দ্বারা ধরে।

f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + f''(a)/2! (x−a)² + f'''(a)/3! (x−a)³ + …

প্রতিটি টেইলর ধারার একটি R আছে যেখানে |x−a| < R হলে ধারা অভিসারী। Ratio test দিয়ে R নির্ণয়।

Newton's method: f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) → x_{new} = a − f(a)/f'(a)।

Second-order optimization (Newton, L-BFGS): quadratic Taylor approx ব্যবহার করে Hessian-ভিত্তিক step।

Activation function বিশ্লেষণে ছোট ইনপুটের কাছে Taylor expansion দিয়ে রৈখিক আচরণ প্রমাণ করা হয়।