পর্ব ১২ · অনুক্রম ও ধারা

ম্যাকলরিন ধারা

a = 0-এ টেইলর ধারা

শেখার লক্ষ্য

ম্যাকলরিন ধারার সংজ্ঞা
গুরুত্বপূর্ণ ফাংশনের সম্প্রসারণ
AI-তে প্রয়োগ

সংজ্ঞা

ম্যাকলরিন ধারা = টেইলর ধারা যেখানে a = 0:

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n

ক্লাসিক উদাহরণ

e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \ldots

\sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - \ldots

\cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - \ldots

1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots,\ |x|<1

\ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - \ldots,\ |x|<1

Euler-এর সূত্র

eˣ, sin x, cos x-এর ধারা মিলিয়ে পাওয়া যায়:

e^{ix} = \cos x + i \sin x

এটি Fourier transform-এর ভিত্তি।

এআই-সংযোগ

Softmax-এর আনুমানিক বিশ্লেষণে eˣ-এর ধারা ব্যবহৃত হয়। Sigmoid σ(x) = 1/(1+e⁻ˣ) ছোট x-এ ≈ 1/2 + x/4। Positional encoding (Transformer)-এ sin/cos ধারার সাহায্যে বিভিন্ন frequency-তে অবস্থান এনকোড করা হয়। Approximate inference-এ posterior-কে Gaussian (quadratic Maclaurin of log-density, যা Laplace approximation) দ্বারা আনুমানিক করা হয়।

সারসংক্ষেপ

ম্যাকলরিন = a=0-এ Taylor।
eˣ, sin x, cos x, ln(1+x), 1/(1−x) সকলের পরিচিত সম্প্রসারণ আছে।
Euler's formula: e^{ix} = cos x + i sin x।