ম্যাকলরিন ধারা

a = 0-এ টেইলর ধারা

~৩ মিনিট

শেখার লক্ষ্য

ম্যাকলরিন ধারার সংজ্ঞা
গুরুত্বপূর্ণ ফাংশনের সম্প্রসারণ
AI-তে প্রয়োগ

সংজ্ঞা

ম্যাকলরিন ধারা = টেইলর ধারা যেখানে a = 0:

f (x) = n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n}

ক্লাসিক উদাহরণ

e^{x} = 1 + x + x^{2} /2! + x^{3} /3! + \dots

sin x = x - x^{3} /3! + x^{5} /5! - \dots

cos x = 1 - x^{2} /2! + x^{4} /4! - \dots

1/ (1 - x) = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots, ∣ x ∣ < 1

ln (1 + x) = x - x^{2} /2 + x^{3} /3 - \dots, ∣ x ∣ < 1

Euler-এর সূত্র

eˣ, sin x, cos x-এর ধারা মিলিয়ে পাওয়া যায়:

e^{i x} = cos x + i sin x

এটি Fourier transform-এর ভিত্তি।

এআই-সংযোগ

Softmax-এর আনুমানিক বিশ্লেষণে eˣ-এর ধারা ব্যবহৃত হয়। Sigmoid σ(x) = 1/(1+e⁻ˣ) ছোট x-এ ≈ 1/2 + x/4। Positional encoding (Transformer)-এ sin/cos ধারার সাহায্যে বিভিন্ন frequency-তে অবস্থান এনকোড করা হয়। Approximate inference-এ posterior-কে Gaussian (quadratic Maclaurin of log-density, যা Laplace approximation) দ্বারা আনুমানিক করা হয়।

সারসংক্ষেপ

ম্যাকলরিন = a=0-এ Taylor।
eˣ, sin x, cos x, ln(1+x), 1/(1−x) সকলের পরিচিত সম্প্রসারণ আছে।
Euler's formula: e^{ix} = cos x + i sin x।

কীবোর্ড: ← আগের · → পরের · / খুঁজুন · g শব্দকোষ