ক
কলন

পর্ব ১২ · অনুক্রম ও ধারা

ফুরিয়ার ধারা ও রূপান্তর

জটিল signal-কে sine-cosine frequency-র যোগফলে দেখা।

শেখার লক্ষ্য

  • periodic function-এর Fourier coefficient ব্যাখ্যা
  • orthogonality ব্যবহার
  • Fourier transform ও inverse-এর অর্থ বোঝা
  • convolution ও AI applications চিনতে

পূর্বপ্রয়োজন

ত্রিকোণমিতি, complex numbers, integration ও series।

Frequency decomposition

Period 2π-এর উপযুক্ত f-কে constant, sine ও cosine wave-এর অসীম যোগ হিসেবে লেখা যায়।

f(x)≈a₀/2+∑ₙ₌₁^∞[aₙcos(nx)+bₙsin(nx)]

Coefficient ও orthogonality

aₙ=(1/π)∫_{-π}^{π}f(x)cos(nx)dx
bₙ=(1/π)∫_{-π}^{π}f(x)sin(nx)dx

Different frequencies interval-এ orthogonal—inner product শূন্য। তাই coefficient হলো নির্দিষ্ট frequency-র উপর projection।

Fourier transform

F(ω)=∫_{-∞}^{∞} f(t)e^{-iωt}dt
f(t)=(1/2π)∫_{-∞}^{∞}F(ω)e^{iωt}dω

Series periodic signal-এর discrete frequency; transform nonperiodic signal-এর continuous spectrum।

Convolution theorem ও computation

𝓕{f*g}=𝓕{f}·𝓕{g}

FFT discrete Fourier transform-কে O(N²) থেকে O(N log N)-এ নামায়।