গতি ও পরিবর্তন

• গড় গতি ও মুহূর্তিক গতির পার্থক্য বুঝতে পারবে।
• সরণ–বেগ–ত্বরণ সম্পর্কের শৃঙ্খলা চিনতে পারবে।
• ‘পরিবর্তনের হার’ ধারণাকে অন্তরজের সাথে সংযুক্ত করতে পারবে।

ফাংশন ও গ্রাফের প্রাথমিক ধারণা।

ঢাকা থেকে চট্টগ্রাম ২৪০ কিমি, লাগল ৪ ঘণ্টা — গড় গতি ৬০ কিমি/ঘণ্টা। কিন্তু পথে কোথাও ১০০, কোথাও ৩০, কোথাও দাঁড়িয়ে। ‘ঠিক বিকেল ৩টায় গতি কত?’ — গড় বলবে না।

মুহূর্তিক গতি = অতি ছোট সময়-ব্যবধানে সরণের পরিবর্তন, যখন সময়-ব্যবধান শূন্যের দিকে যায়। এটাই অন্তরজের সংজ্ঞা।

একটি বস্তুর গতি বর্ণনায় তিনটি পরিমাণ:

• সরণ s(t) — সময়ের সাপেক্ষে অবস্থান।
• বেগ v(t) = ds/dt — সরণের পরিবর্তনের হার।
• ত্বরণ a(t) = dv/dt = d²s/dt² — বেগের পরিবর্তনের হার।

মুক্ত পতনের জন্য: s(t) = ½ g t² → v(t) = g t → a(t) = g (স্থির)। ক্যালকুলাস ছাড়া এই শৃঙ্খলা টানা অসম্ভব।

পরিবর্তনের হার শুধু গতি নয়:

• জনসংখ্যা বৃদ্ধি: dP/dt — মহামারী মডেলে অপরিহার্য।
• তাপ প্রবাহ: dT/dt — ফুরিয়ের তাপ সমীকরণ।
• নিউরাল নেটওয়ার্কে লস কমা: dL/dw — গ্রেডিয়েন্ট।
• শেয়ার বাজার মূল্য পরিবর্তন: dP/dt — কোয়ান্ট ফাইন্যান্স।

গ্রেডিয়েন্ট ডিসেন্ট: প্যারামিটার w-এর সাপেক্ষে লস L-এর পরিবর্তনের হার dL/dw নাও, এবং উল্টো দিকে ছোট্ট পদক্ষেপ নাও — w ← w − η · dL/dw। এটাই আধুনিক ডিপ লার্নিং-এর হৃদয়।

Reinforcement learning-এ ‘policy gradient’, GAN-এ ‘discriminator gradient’ — সবই পরিবর্তনের হারের গল্প।

ক্যালকুলাস জন্মেছিল গতির রহস্য ভেদ করতে — আজ সেটি পরিবর্তনের সর্বজনীন ভাষা। Part 1 শেষ। এবার Part 2-তে ফাংশনের গভীরে যাব — ডোমেইন, রেঞ্জ, কম্পোজিট, ইনভার্স।