ক
কলন

পর্ব ১৫ · অন্তরক সমীকরণ

প্রথম ক্রম অন্তরক সমীকরণ

dy/dx = f(x, y) সমাধান

শেখার লক্ষ্য

  • ODE কী তা বোঝা
  • Separable ও linear first-order সমাধান
  • Initial value problem

অন্তরক সমীকরণ কী?

একটি সমীকরণ যা একটি ফাংশন y(x) ও তার অন্তরজগুলির মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে — ODE (Ordinary Differential Equation)।

প্রথম ক্রম: শুধু y' আছে।

dy/dx = ky \Rightarrow y = Ce^{kx}

Separable

যদি dy/dx = g(x)h(y) লেখা যায়:

\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\, dx

উদাহরণ: dy/dx = xy ⇒ ∫dy/y = ∫x dx ⇒ ln|y| = x²/2 + C ⇒ y = Ae^(x²/2)।

Linear First-Order

y' + P(x)y = Q(x) আকারে। Integrating factor μ = e^∫P dx ব্যবহার করে:

(\mu y)' = \mu Q \Rightarrow y = \frac{1}{\mu} \int \mu Q\, dx

Initial Value Problem (IVP)

y' = f(x,y), y(x₀) = y₀ দিয়ে সাধারণ সমাধান থেকে নির্দিষ্ট ধ্রুবক C নির্ণয়।

এআই-সংযোগ

Neural ODE: dh/dt = f(h, t; θ) — hidden state-এর evolution একটি ODE হিসেবে শেখানো হয়। Discrete network = Euler step; ODE = continuous depth।

Population dynamics, epidemic models (SIR) — ML-augmented ODE মডেলের ভিত্তি।

সারসংক্ষেপ

  • Separable: চলক আলাদা করে সমাকল।
  • Linear: integrating factor μ = e^∫P।
  • IVP: প্রাথমিক শর্ত দিয়ে C নির্ণয়।