দ্বিতীয় ক্রম অন্তরক সমীকরণ

• Homogeneous linear সমীকরণ
• Characteristic equation
• Particular solution

g(x) = 0 হলে homogeneous; অন্যথায় non-homogeneous।

ay'' + by' + cy = 0-এর জন্য y = e^{rx} ধরে: ar² + br + c = 0।

• দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল r₁, r₂: y = C₁e^{r₁x} + C₂e^{r₂x}।
• পুনরাবৃত্ত মূল r: y = (C₁ + C₂x)e^{rx}।
• জটিল মূল α ± βi: y = e^{αx}(C₁ cos βx + C₂ sin βx)।

Non-homogeneous: y = y_h + y_p। y_p পেতে method of undetermined coefficients বা variation of parameters।

Harmonic oscillator: mx'' + cx' + kx = F(t)। c = 0: undamped; c² < 4mk: underdamped (oscillation); c² > 4mk: overdamped।

Momentum-based optimizer (heavy-ball, Nesterov) মূলত second-order ODE-এর discretization: θ'' + γθ' + ∇L(θ) = 0।

Hamiltonian Neural Networks ও Lagrangian Neural Networks — physical systems-কে দ্বিতীয় ক্রম ODE হিসেবে শেখায়।

• ay'' + by' + cy = g(x)।
• Characteristic root দ্বারা homogeneous সমাধানের রূপ নির্ধারিত।
• General = homogeneous + particular।