ক
কলন

পর্ব ১৫ · অন্তরক সমীকরণ

লাপ্লাস রূপান্তর

DE-কে algebraic equation-এ পরিণত করার যাদু।

শেখার লক্ষ্য

  • সংজ্ঞা ও linearity
  • common transform টেবিল
  • DE সমাধানে প্রয়োগ

পূর্বপ্রয়োজন

improper integral, exp ফাংশন।

সংজ্ঞা

ℒ{f(t)}=F(s)=∫₀^∞ e^{−st} f(t) dt

Linear operator; convergence: Re(s) সীমার বাইরে।

মূল ট্রান্সফর্ম

  • 1 ↔ 1/s
  • eᵃᵗ ↔ 1/(s−a)
  • sin(ωt) ↔ ω/(s²+ω²)
  • f'(t) ↔ sF(s)−f(0)
  • f''(t) ↔ s²F(s)−sf(0)−f'(0)

DE সমাধান

y''+y=δ(t), y(0)=y'(0)=0 → s²Y+Y=1 → Y=1/(s²+1) → y=sin t। Discontinuous forcing ও initial value problem-এ অসামান্য।