পর্ব ৭ · অন্তরজের প্রয়োগ

রিলেটেড রেটস

এক রাশির পরিবর্তন আরেক রাশিকে কীভাবে নাড়ায়

শেখার লক্ষ্য

একাধিক চলকের সম্পর্ক থেকে চেইন রুল দিয়ে dx/dt, dy/dt সম্পর্কিত করতে পারবে।
জ্যামিতিক ও ভৌত সমস্যা সমাধান করতে পারবে।

মূল কৌশল

চলকদের মধ্যে সম্পর্ক লেখো (সমীকরণ)।
উভয় পক্ষে t-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নাও (implicit + chain rule)।
পরিচিত মান বসিয়ে অজানা হার বের করো।

ক্লাসিক উদাহরণ: ছড়িয়ে পড়া তেল

একটি বৃত্তাকার তেলের দাগের ব্যাসার্ধ ০.৫ মি/সে হারে বাড়ছে। r = 10 মি হলে ক্ষেত্রফল কত দ্রুত বাড়ছে?

A = πr² ⇒ dA/dt = 2πr · dr/dt = 2π(10)(0.5) = 10π মি²/সে

দ্বিতীয় উদাহরণ: সিঁড়ি

১০ ফুট সিঁড়ির তলা ২ ফুট/সে হারে দেয়াল থেকে দূরে সরছে। তলা ৬ ফুট দূরে হলে শীর্ষ কত দ্রুত নামছে?

x² + y² = 100 ⇒ 2x·(dx/dt) + 2y·(dy/dt) = 0

x = 6, y = 8, dx/dt = 2 ⇒ dy/dt = −1.5 ফুট/সে (নামছে)।

এআই-সংযোগ

Multi-variable loss-এ এক প্যারামিটার বদলালে অন্য rates কীভাবে আপডেট হয়—অনেকটা related rates-এর বহু-চলকীয় সাধারণীকরণ। Computational graph এই সম্পর্কগুলোর নকশা।