রোল, গড় মান ও চরম মান উপপাদ্য

• EVT, Rolle ও MVT-এর hypothesis যাচাই
• geometric অর্থ ব্যাখ্যা
• monotonicity ও uniqueness প্রমাণ
• theorem ভুলভাবে প্রয়োগ এড়ানো

ধারাবাহিকতা, অন্তরজ ও interval।

f যদি closed bounded interval [a,b]-তে continuous হয়, তবে f absolute maximum ও minimum দুটিই অর্জন করে। Closed ও bounded—দুই শর্তই গুরুত্বপূর্ণ।

f [a,b]-তে continuous, (a,b)-তে differentiable এবং f(a)=f(b) হলে কোনো c∈(a,b)-তে f′(c)=0।

একই smoothness শর্তে অন্তত একটি c আছে যেখানে instantaneous slope পুরো interval-এর secant slope-এর সমান।

• f′>0 হলে f strictly increasing; f′<0 হলে decreasing।
• f′=0 সর্বত্র হলে f constant।
• একই derivative-যুক্ত দুই function কেবল constant-এ আলাদা।
• Rolle theorem root-এর মাঝখানে critical point নিশ্চিত করে।