পর্ব ৭ · অন্তরজের প্রয়োগ
রোল, গড় মান ও চরম মান উপপাদ্য
Local derivative থেকে global behavior সম্পর্কে নিশ্চয়তা।
শেখার লক্ষ্য
- EVT, Rolle ও MVT-এর hypothesis যাচাই
- geometric অর্থ ব্যাখ্যা
- monotonicity ও uniqueness প্রমাণ
- theorem ভুলভাবে প্রয়োগ এড়ানো
পূর্বপ্রয়োজন
ধারাবাহিকতা, অন্তরজ ও interval।
Extreme Value Theorem
f যদি closed bounded interval [a,b]-তে continuous হয়, তবে f absolute maximum ও minimum দুটিই অর্জন করে। Closed ও bounded—দুই শর্তই গুরুত্বপূর্ণ।
Rolle-এর উপপাদ্য
f [a,b]-তে continuous, (a,b)-তে differentiable এবং f(a)=f(b) হলে কোনো c∈(a,b)-তে f′(c)=0।
Mean Value Theorem
একই smoothness শর্তে অন্তত একটি c আছে যেখানে instantaneous slope পুরো interval-এর secant slope-এর সমান।
শক্তিশালী ফলাফল
- f′>0 হলে f strictly increasing; f′<0 হলে decreasing।
- f′=0 সর্বত্র হলে f constant।
- একই derivative-যুক্ত দুই function কেবল constant-এ আলাদা।
- Rolle theorem root-এর মাঝখানে critical point নিশ্চিত করে।