পার্শিয়াল ফ্র‍্যাকশন

• পার্শিয়াল ফ্র‍্যাকশনে বিভাজনের শর্ত ও পদ্ধতি বুঝবে।
• বিভিন্ন ধরনের উৎপাদক (ভিন্ন, পুনরাবৃত্ত, বর্গীয়) চিনতে পারবে।
• Heaviside cover-up পদ্ধতি দিয়ে দ্রুত সহগ নির্ণয় করতে পারবে।

বহুপদী গুণনীয়ক বিশ্লেষণ, বীজগণিত, মৌলিক সমাকলন।

∫ (3x + 5)/(x² − 1) dx কীভাবে করব? সরাসরি কোনো সূত্র নেই। কিন্তু যদি ভগ্নাংশটি ছোট ছোট সরল ভগ্নাংশে ভাঙতে পারি:

তবে প্রতিটি অংশ ln আকারে সমাকল হয়—সমস্যা সহজ!

পার্শিয়াল ফ্র‍্যাকশন প্রযোজ্য হয় যখন:

• ভাজকের (denominator) ডিগ্রি ভাজ্যের (numerator) ডিগ্রি থেকে বেশি।
• ভাজককে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।

যদি ভাজ্যের ডিগ্রি বেশি হয়, প্রথমে বহুপদী ভাগ করো (polynomial long division), অবশিষ্টের জন্য partial fractions প্রয়োগ করো।

(7x − 1)/(x² − x − 6) = (7x − 1)/((x−3)(x+2)) = A/(x−3) + B/(x+2)

সহগ নির্ণয়: উভয় পক্ষ (x−3)(x+2) দিয়ে গুণ করো:

x = 3: 20 = 5A → A = 4; x = −2: −15 = −5B → B = 3

(x + 1)/(x − 2)³ = A/(x−2) + B/(x−2)² + C/(x−2)³

প্রতিটি পুনরাবৃত্তি পর্যন্ত ডিগ্রি বৃদ্ধি — শেষ উৎপাদকটি শুধু ধ্রুবকের।

সমাকল: A ln|x−2| − B/(x−2) − C/2(x−2)² + C′

(3x + 2)/(x³ − 1) = (3x + 2)/((x−1)(x²+x+1)) = A/(x−1) + (Bx + C)/(x²+x+1)

বর্গীয় উৎপাদকের জন্য লিনিয়ার numerator (Bx + C) লাগে। সমাকলের জন্য বর্গীয়টি denominator-কে a² + u² আকারে রূপান্তর করো, তারপর arctan ও ln সূত্র প্রয়োগ করো।

পার্শিয়াল ফ্র‍্যাকশনের পর অর্জিত প্রতিটি সরল ভগ্নাংশের সমাকল মৌলিকভাবে দুটি ধরনের:

• ∫ A/(x−a) dx = A ln|x−a| + C — যা রিম্যান যোগে ক্রমশ log-growth দেখায়।
• ∫ 1/(x²+a²) dx = (1/a) arctan(x/a) + C — যা bounded area তৈরি করে।

অন্তরজ থেকে সমাকলনের এই যাত্রায়, আমরা দেখলাম কীভাবে জটিল ভগ্নাংশকে সরলীকরণের মাধ্যমে Riemann যোগের মূল ধারণায় ফিরে আসা যায়।

Laplace transform ও Z-transform-এ রেশনাল ফাংশনের পার্শিয়াল ফ্র‍্যাকশন বিশ্লেষণ কেন্দ্রীয়। Signal processing ও control theory-তে system response গণনায় এটি নিত্যদিনের।

• ভাজকের ডিগ্রি ভাজ্য থেকে বড় হতে হবে; না হলে polynomial division করো।
• ভিন্ন রৈখিক: A/(x−a) + B/(x−b)
• পুনরাবৃত্ত রৈখিক: A/(x−a) + B/(x−a)² + …
• বর্গীয়: (Bx+C)/(x²+px+q)
• Heaviside দিয়ে সহগ দ্রুত নির্ণয় করো।