পার্টস দ্বারা সমাকলন

• Integration by parts সূত্র প্রমাণ ও প্রয়োগ করতে পারবে।
• LIATE নিয়ম দিয়ে u ও dv বাছতে পারবে।
• পুনরাবৃত্ত (repeated) by parts ও ট্যাবুলার পদ্ধতি জানবে।

প্রোডাক্ট রুল, মৌলিক সমাকলন, সাবস্টিটিউশন।

আমরা জানি: (uv)′ = u′v + uv′। উভয় পক্ষ সমাকল করলে:

পুনর্বিন্যাস করলে পাই:

সঠিক u বাছাই সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ — ভুল বাছাইয়ে সমাকল আরও জটিল হয়।

LIATE ক্রম (u হিসেবে অগ্রাধিকার):

• L — লগারিদমিক (ln x, log x)
• I — ইনভার্স ট্রিগোনোমেট্রিক (arctan x, arcsin x)
• A — অ্যালজেব্রিক (xⁿ, বহুপদী)
• T — ট্রিগোনোমেট্রিক (sin x, cos x, e^x)
• E — এক্সপোনেনশিয়াল (e^x)

যা আগে আসে তাকে u বানাও, বাকিটা dv।

• u = x (অ্যালজেব্রিক), dv = e^x dx
• du = dx, v = e^x
• ∫ x e^x dx = x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C = e^x(x − 1) + C

যাচাই: d/dx[e^x(x−1)] = e^x(x−1) + e^x = x e^x ✓

∫ x ln x dx: u = ln x (লগারিদমিক আগে), dv = x dx

∫ x² sin x dx: দুবার by parts প্রয়োজন — প্রথমবার u = x², দ্বিতীয়বার u = x।

∫ e^x sin x dx-এর মতো কিছু সমাকল by parts করলে আবার মূল সমাকল ফিরে আসে:

ধরো I = ∫ e^x sin x dx। দুবার by parts করলে I = e^x(sin x − cos x)/2 − I

সমাধান: 2I = e^x(sin x − cos x)/2 → I = e^x(sin x − cos x)/4 + C

অনির্দিষ্ট সমাকলের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ হলো antiderivative বের করা — যা FTC-এর দ্বিতীয় অংশ প্রয়োগের জন্য অপরিহার্য।

মৌলিক antiderivatives:

• ∫ xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ −1)
• ∫ 1/x dx = ln|x| + C
• ∫ e^x dx = e^x + C
• ∫ sin x dx = −cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sec²x dx = tan x + C

প্রতিটি সূত্র অন্তরজ দিয়ে যাচাই করা যায়। এগুলোই সমাকলনের বিল্ডিং ব্লক।

Expected value, variance, entropy গণনায় by parts ব্যবহৃত হয়। Gaussian integral-এর বহু রূপ (যেমন moments) by parts/সাবস্টিটিউশন ছাড়া সমাধান করা কঠিন।

• ∫ u dv = uv − ∫ v du — প্রোডাক্ট রুলের উল্টো।
• LIATE দিয়ে u বাছো।
• পুনরাবৃত্ত by parts ও ট্যাবুলার পদ্ধতি জানো।
• সংক্রামিক সমাকলে মূল I সমীকরণে ফিরে আসে—বীজগণিত করে সমাধান করো।