সাবস্টিটিউশন

• u-সাবস্টিটিউশন পদ্ধতি দিয়ে অনির্দিষ্ট ও সুনির্দিষ্ট সমাকল করতে পারবে।
• চেইন রুল ও সাবস্টিটিউশনের গভীর সংযোগ বুঝবে।
• ট্রিগোনোমেট্রিক ও অ্যালজেব্রিক সাবস্টিটিউশনের পার্থক্য চিনতে পারবে।

অন্তরজের চেইন রুল, মৌলিক সমাকলন সূত্র, ফাংশন কম্পোজিশন।

আমরা জানি চেইন রুলে: d/dx[f(g(x))] = f′(g(x)) · g′(x)। কিন্তু যদি অন্তরজ দেওয়া থাকে, তবে মূল ফাংশন ফিরে পেতে কী করব?

উদাহরণ: ∫ 2x · cos(x²) dx — এখানে বাইরের ফাংশনের অন্তরজ ভেতরের ফাংশনের অন্তরজ দিয়ে গুণিত। এই গঠন চিনতে পারলেই সাবস্টিটিউশন।

ধরো ভেতরের ফাংশন u, তবে du = u′ dx, অর্থাৎ dx = du/u′। এটি বসিয়ে দিলে সমাকল সরল হয়ে যায়।

∫ 2x · e^(x²) dx

• ধাপ ১: u = x² → du = 2x dx
• ধাপ ২: সমাকল = ∫ e^u du = e^u + C
• ধাপ ৩: ফিরিয়ে আনো: e^(x²) + C

আরেকটি: ∫ x · √(1 + x²) dx

• u = 1 + x² → du = 2x dx → x dx = du/2
• ∫ √u · (du/2) = ½ · (2/3) u^(3/2) + C = (1/3)(1 + x²)^(3/2) + C

u-সাবস্টিটিউশনে সুনির্দিষ্ট সমাকলের সীমাও বদলায়—মূল x-সীমার বদলে u-সীমা বসাতে হয়।

উদাহরণ: ∫₀¹ 2x · e^(x²) dx → u = x², u(0)=0, u(1)=1 → ∫₀¹ e^u du = e − 1।

√(a² − x²), √(a² + x²), √(x² − a²) আকারের সমাকলের জন্য বিশেষ সাবস্টিটিউশন:

• √(a² − x²): x = a sin θ, dx = a cos θ dθ, √(a² − x²) = a cos θ
• √(a² + x²): x = a tan θ, dx = a sec² θ dθ, √(a² + x²) = a sec θ
• √(x² − a²): x = a sec θ, dx = a sec θ tan θ dθ, √(x² − a²) = a tan θ

এগুলো Pythagorean সূত্র sin²θ + cos²θ = 1 ব্যবহার করে র্যাডিক্যাল সরিয়ে দেয়।

যখন সীমা নির্দিষ্ট নয়, তখন এটি অনির্দিষ্ট সমাকলন (indefinite integral):

যেখানে F′(x) = f(x)। C হলো সংযোজন ধ্রুবক (constant of integration) — কারণ যেকোনো ধ্রুবকের অন্তরজ শূন্য।

অন্তরজ ও সমাকলনের মৌলিক সম্পর্ক:

Normalizing flows-এ variable transformation (যেমন change of variables formula) সরাসরি u-substitution-এর বহু-মাত্রিক রূপ। গাউসিয়ান integral-এর মান নির্ণয়েও সাবস্টিটিউশন-জাতীয় পদ্ধতি ব্যবহৃত হয়।

• সাবস্টিটিউশন = চেইন রুলের উল্টো প্রক্রিয়া।
• u বাছাই: ভেতরের ফাংশন যার du বাকি অংশে থাকে।
• সুনির্দিষ্ট সমাকলে সীমা u-তে রূপান্তর করো।
• √(a² ± x²) আকারে ট্রিগো সাবস্টিটিউশন ব্যবহার করো।