লগারিদম

• log-কে সূচকের ইনভার্স হিসেবে বুঝতে পারবে।
• লগের তিনটি মৌলিক নিয়ম প্রয়োগ করতে পারবে।
• ln (প্রাকৃতিক লগ) ও log₁₀-এর পার্থক্য বলতে পারবে।
• কেন AI ও ইনফরমেশন থিওরিতে log অপরিহার্য, তা বুঝবে।

সূচকের নিয়মসমূহ।

২ⁿ = ৮ — n কত? উত্তর সহজ: ৩। কিন্তু ২ⁿ = ১০ হলে? n পূর্ণ সংখ্যা নয়, কোথাও ৩-এর একটু বেশি।

এই উত্তরটাকে বলে log₂ ১০ — পড়া হয় ‘বেস ২-এ ১০-এর লগ’। সংজ্ঞা:

সূচকের নিয়ম থেকে সরাসরি বেরোয়:

এই তৃতীয়টিই সবচেয়ে শক্তিশালী — পাওয়ার নেমে এসে গুণনীয়ক হয়ে যায়। এজন্যই কঠিন এক্সপোনেনশিয়াল সমীকরণ লগ নিয়ে এক লহমায় সমাধান হয়।

• log₁₀ — সাধারণ লগ (common log)। ক্যালকুলেটরে ‘log’।
• logₑ = ln — প্রাকৃতিক লগ (natural log)। ক্যালকুলাসের প্রিয়।
• log₂ — বাইনারি লগ। কম্পিউটার সায়েন্স ও ইনফরমেশন থিওরির ভাষা।

বেস বদলানোর সূত্র — খুবই কাজের:

e ≈ ২.৭১৮২৮… — কন্টিনিউয়াস কম্পাউন্ডিং থেকে স্বাভাবিকভাবে আসে। eˣ-এর অন্তরজ আবার eˣ — গণিতের একমাত্র ফাংশন যে নিজের সমান হারে বাড়ে।

ফলে ln (logₑ) ক্যালকুলাসে সব জায়গায়: d/dx (ln x) = 1/x — একটি ভয়ংকর সরল ফর্মুলা যা অসংখ্য সমাকলনের ভিত্তি।

• ভূমিকম্পের রিখটার স্কেল — log₁₀ ভিত্তিক। ৭ মাত্রা মানে ৬ মাত্রার চেয়ে ১০ গুণ বেশি শক্তিশালী।
• শব্দের ডেসিবেল (dB) — লগ স্কেল।
• pH স্কেল — −log₁₀[H⁺]।
• কম্পিউটার সায়েন্সে বাইনারি সার্চের সময় জটিলতা O(log n)।

Cross-entropy loss — মেশিন লার্নিংয়ের সবচেয়ে ব্যবহৃত লস ফাংশন — পুরোটাই log: − Σ y log(ŷ)। কারণ log ছোট সম্ভাবনাকে ‘বড় শাস্তি’ দেয়।

Information theory: একটি ঘটনার ‘surprise’ = − log P। গোটা ডিপ লার্নিং দাঁড়িয়ে এই ধারণার উপর।

• log(x + y) = log x + log y — ভুল! যোগের লগ আলাদা হয় না।
• log(x) / log(y) = log(x/y) — ভুল। ভাগের লগ হলো log x − log y।
• log 0 = 0 — ভুল। log 0 অসংজ্ঞায়িত (−∞ দিকে যায়)।

log = ‘কত পাওয়ার?’। সূচক ও লগ একই মুদ্রার দুই পিঠ। তিনটে নিয়ম, একটি ভিত্তি e — এই ছোট টুলকিট গোটা ক্যালকুলাস ও AI-তে কাজে আসবে।