সূচক

• সূচকের সাতটি মৌলিক নিয়ম মনে রাখার বদলে ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• ঋণাত্মক ও ভগ্নাংশ সূচকের অর্থ বুঝতে পারবে।
• বৈজ্ঞানিক নোটেশনে বড় ও ছোট সংখ্যা প্রকাশ করতে পারবে।
• exponential growth/decay-এর বাস্তব উদাহরণ চিনতে পারবে।

গুণ-ভাগ, ঋণাত্মক সংখ্যা, ভগ্নাংশ।

২ × ২ × ২ × ২ × ২ লিখতে বিরক্তি লাগে। গণিতবিদরা বললেন — লিখি ২⁵। নিচের সংখ্যাকে বলে base (২), উপরেরটাকে exponent বা power (৫)। অর্থ: ২-কে নিজে দিয়ে ৫ বার গুণ।

২⁵ = ৩২। সহজ। কিন্তু এই ছোট্ট লেখাই বদলে দিল আধুনিক বিজ্ঞান — কম্পাউন্ড সুদ, জনসংখ্যা বৃদ্ধি, কম্পিউটারের গতি, AI মডেলের সাইজ — সবই সূচকীয়।

• aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ — একই base, সূচক যোগ।
• aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ — একই base, সূচক বিয়োগ।
• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ — সূচকের সূচক, গুণ।
• (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ — গুণের সূচক, প্রতিটিতে আলাদা।
• (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ — ভাগেও তাই।
• a⁰ = ১ — যেকোনো অশূন্য সংখ্যার ০ পাওয়ার ১।
• a⁻ⁿ = ১/aⁿ — ঋণাত্মক সূচক মানে উল্টানো।

a^(১/২) মানে কী? নিয়ম বলে (a^(১/২))² = a^(১/২ × ২) = a¹ = a। অর্থাৎ a^(১/২) এমন সংখ্যা যাকে নিজে দিয়ে গুণ করলে a হয় — মানে √a।

৮^(২/৩) = ³√(৮²) = ³√৬৪ = ৪।

আলোর গতি ৩০০,০০০,০০০ মিটার/সেকেন্ড — অনেক শূন্য। বৈজ্ঞানিক নোটেশনে ৩ × ১০⁸। ইলেকট্রনের ভর ৯.১১ × ১০⁻³¹ কেজি।

১০ সূচক ধনাত্মক হলে বড় সংখ্যা, ঋণাত্মক হলে ক্ষুদ্র সংখ্যা। সংখ্যা যত বড়/ছোট, সূচক তত বেশি কাজ বাঁচায়।

একটা ব্যাকটেরিয়া প্রতি ঘণ্টায় দ্বিগুণ হয়। শুরু ১ টা — ২৪ ঘণ্টা পরে ২²⁴ ≈ ১.৬ কোটি। এটাই সূচকীয় বৃদ্ধির ভয়াবহতা।

কম্পাউন্ড সুদ, ভাইরাস ছড়ানো, Moore’s law, AI মডেলের প্যারামিটার সংখ্যা — সব এই ছাঁচে।

সফটম্যাক্স ফাংশন eˣ ব্যবহার করে — eˣⁱ / Σ eˣʲ। ‘e’ হলো প্রাকৃতিক ভিত্তি (~২.৭১৮), যা ক্যালকুলাসে অন্তরজের জাদুকরী ধ্রুবক।

Loss function-এ exponential decay (learning rate schedule), Adam optimizer-এ moving average — সবখানে সূচক ঘুরে ফিরে আসে।

• ২³ × ২⁴ = ৪⁷ — ভুল। base বদলায় না: ২⁷।
• (২ + ৩)² = ২² + ৩² — ভুল। (a+b)² = a² + ২ab + b²।
• −২² = ৪ — ভুল। আগে পাওয়ার, তারপর চিহ্ন: −(২²) = −৪। (−২)² হলে ৪।

সূচক = সংক্ষিপ্ত গুণ। সাতটি নিয়ম জানলে যেকোনো রাশি সরল হবে। পরের অধ্যায়ে — সূচকের উল্টো প্রশ্ন: ‘কতবার গুণ করলে এটা পাব?’ — সেটাই লগারিদম।