পর্ব ১৪ · ভেক্টর ক্যালকুলাস

রেখা সমাকলন

বক্ররেখা বরাবর সমাকল

শেখার লক্ষ্য

Scalar field f বরাবর: ∫_C f ds, যেখানে ds = √(dx² + dy² + dz²)।

Vector field F বরাবর: ∫_C F · dr — গতিপথ বরাবর F-এর component-এর সমাকল।

\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\, dt

F = বল হলে ∫F·dr = বলের দ্বারা কাজ (work)।

F = বেগ ক্ষেত্র হলে ∫F·dr = সঞ্চালন (circulation)।

F = ∇φ হলে: ∫_C F·dr = φ(end) − φ(start)। পথের উপর নির্ভর করে না।

এটি Fundamental Theorem of Line Integrals — ক্যালকুলাসের মূল উপপাদ্যের বহু-মাত্রিক সংস্করণ।

Reinforcement learning-এ trajectory বরাবর reward সমাকল ∫r(s,a)dt — মূলত line integral।

Optimal transport-এ Wasserstein distance-এর dual formulation-এ vector field বরাবর integral ব্যবহৃত হয়।

Neural ODE-এ hidden state-এর evolution path বরাবর সমাকল হিসেবে নির্ণীত।