পর্ব ৯ · সমাকল (Integrals)

ক্যালকুলাসের মূল উপপাদ্য

অন্তরজ আর সমাকল—একই মুদ্রার দুই পিঠ

শেখার লক্ষ্য

FTC-এর দুটি অংশের বিবৃতি ও তাৎপর্য বুঝবে।
Antiderivative ব্যবহার করে সুনির্দিষ্ট সমাকল গণনা করতে পারবে।

অংশ ১: সমাকল থেকে অন্তরজ

যদি F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, তবে

F′(x) = f(x)

অর্থাৎ ‘ক্ষেত্রফল-ফাংশন’-এর অন্তরজই মূল ফাংশন।

অংশ ২: সমাকল গণনার সূত্র

যদি F কোনো antiderivative হয় (F′ = f), তবে

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

উদাহরণ

∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 − 0 = 1/3

রিম্যান যোগের সাথে মিলে গেল।

∫₀^π sin x dx = [−cos x]₀^π = −(−1) − (−1) = 2

তাৎপর্য

নিউটন ও লাইবনিজের মহান আবিষ্কার—দুটি আপাত-পৃথক সমস্যা (ঢাল ও ক্ষেত্রফল) আসলে একই গণিতের দুই দিক। এর জন্যই ‘ক্যালকুলাস’ নামের একটি ঐক্যবদ্ধ বিষয় গড়ে উঠেছে।

এআই-সংযোগ

Neural ODE-তে hidden state-এর বিবর্তন ODE হিসেবে লেখা হয়; সমাধানে FTC + numerical integration ব্যবহৃত হয়। Normalizing flows-এ likelihood গণনায়ও integral-derivative duality কেন্দ্রীয়।

সারসংক্ষেপ

FTC ক্যালকুলাসকে এক সুতোয় বেঁধে দেয়। পরবর্তী পর্বে আমরা শিখব—antiderivative বের করার কৌশল: substitution, by parts, partial fractions।