ক
কলন

পর্ব ২ · ফাংশন গভীরভাবে

সূচকীয় ও লগারিদমিক ফাংশন

বৃদ্ধি, ক্ষয় ও ক্যালকুলাসের স্বাভাবিক ভিত্তি e।

শেখার লক্ষ্য

  • e-কে limit ও growth constant হিসেবে ব্যাখ্যা
  • exp ও ln-কে inverse হিসেবে ব্যবহার
  • derivative ও integral সূত্র নির্ণয়
  • growth/decay model তৈরি

পূর্বপ্রয়োজন

ফাংশন, সূচক, লগারিদম ও লিমিটের প্রাথমিক ধারণা।

e কোথা থেকে আসে?

e=limₙ→∞(1+1/n)ⁿ≈2.71828

বছরে n বার compound করা ১০০% সুদের limiting growth factor e। একই constant সেই exponential-কে unique করে যার ঢাল নিজেই।

Exponential ও logarithm

f(x)=eˣ strictly increasing এবং range (0,∞)। এর inverse ln x, তাই ln(eˣ)=x ও e^{ln x}=x (x>0)।

aˣ=e^{x ln a}, logₐx=ln x/ln a

Derivative

d(eˣ)/dx=eˣ, d(aˣ)/dx=aˣ ln a, d(ln x)/dx=1/x

Chain rule-এ d(e^{g(x)})/dx=e^{g(x)}g′(x), এবং d(ln|g(x)|)/dx=g′(x)/g(x)।

Integral ও model

∫e^{kx}dx=e^{kx}/k+C, ∫dx/x=ln|x|+C
dy/dt=ky ⇒ y(t)=y₀e^{kt}