ফাংশন রূপান্তর

• চারটি মৌলিক রূপান্তর (shift, scale, reflect, stretch) চিনতে পারবে।
• f(x) → a·f(b(x − h)) + k সূত্রের প্রভাব ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• একটি বেস ফাংশন থেকে জটিল গ্রাফ তৈরি করতে পারবে।

গ্রাফ ও স্থানাঙ্ক অধ্যায়টি পড়া থাকলে যথেষ্ট।

• উলম্ব সরণ: f(x) + k → k > 0 হলে উপরে, k < 0 হলে নিচে।
• অনুভূমিক সরণ: f(x − h) → h > 0 হলে ডানে, h < 0 হলে বামে। (উল্টো মনে হয় — সাবধান!)
• উলম্ব প্রসারণ/সংকোচন: a·f(x) → |a| > 1 প্রসারণ, 0 < |a| < 1 সংকোচন; a < 0 হলে x-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিফলন।
• অনুভূমিক প্রসারণ/সংকোচন: f(b·x) → |b| > 1 সংকোচন, 0 < |b| < 1 প্রসারণ; b < 0 হলে y-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিফলন।

ক্রম গুরুত্বপূর্ণ: প্রথমে অনুভূমিক অপারেশন (b ও h ভেতরে), তারপর উলম্ব (a ও k বাইরে)।

উদাহরণ: f(x) = x² থেকে g(x) = −2(x − 3)² + 1 — ৩ ডানে, ২ গুণ প্রসারণ, x-অক্ষে প্রতিফলন, ১ উপরে।

জোড় (even): f(−x) = f(x) — y-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম। উদাহরণ: x², cos x।

বিজোড় (odd): f(−x) = −f(x) — মূলবিন্দুর সাপেক্ষে প্রতিসম। উদাহরণ: x³, sin x।

এই প্রতিসাম্য অনেক সমাকল গণনায় কাজে আসে।

Batch normalization আসলে রূপান্তর: y = γ·(x − μ)/σ + β — মান-সরণ (μ) ও স্কেল (σ) সাধারণীকরণ, তারপর শেখানো γ, β দিয়ে পুনরায় স্কেল-শিফট।

Data augmentation-এ ছবিকে shift, flip, scale করা হয় — এগুলো জ্যামিতিক রূপান্তর।

চারটি মৌলিক চাল — shift, scale, reflect, stretch — দিয়ে যেকোনো বেস ফাংশন থেকে অসংখ্য নতুন ফাংশন বানানো যায়।

Part 2 শেষ। এবার Part 3 — লিমিট। ক্যালকুলাসের প্রাণে প্রবেশের পালা।