পর্ব ৩ · লিমিট

একতরফা লিমিট

বাম থেকে এবং ডান থেকে—দু’দিক আলাদা গল্প বলতে পারে।

শেখার লক্ষ্য

লিমিটের প্রাথমিক ধারণা।

x → a⁻ মানে x-কে a-এর বাম দিক (ছোট মান) থেকে কাছে আনা। x → a⁺ মানে ডান দিক (বড় মান) থেকে।

lim(x→a⁻) f(x) = L₁, lim(x→a⁺) f(x) = L₂

L₁ = L₂ হলে তবেই সাধারণ দ্বিপাক্ষিক লিমিট থাকে এবং তা সমান L₁।

f(x) = |x| / x বিবেচনা করো। x > 0 হলে = 1, x < 0 হলে = −1।

lim(x→0⁻) f(x) = −1, lim(x→0⁺) f(x) = +1

দু’দিক আলাদা, তাই lim(x→0) f(x) নেই।

ট্যাক্স ব্র্যাকেট, বিদ্যুৎ বিলের স্ল্যাব, কোনো নির্দিষ্ট ভর্তি পরীক্ষার কাটঅফ—এসব জায়গায় ফাংশন “লাফ” দেয়। লাফের আগে ও পরে আলাদা লিমিট।

ReLU(x) = max(0, x): বাম থেকে ০-তে এলে ঢাল ০, ডান থেকে এলে ঢাল ১। একতরফা ডেরিভেটিভই এখানে কাজে আসে—তাই “সাবগ্রেডিয়েন্ট”।

একতরফা লিমিট আলাদা হলে দ্বিপাক্ষিক লিমিট নেই। তবে একতরফা লিমিট নিজে নিজেই অর্থবহ এবং বহু ক্ষেত্রে অপরিহার্য।