পর্ব ১৩ · বহু-চলকীয় ক্যালকুলাস

Hessian ও দ্বিতীয় অন্তরজ পরীক্ষা

Critical point-এ max, min, না saddle — দ্বিতীয় ক্রমের curvature দিয়ে রায়।

শেখার লক্ষ্য

Hessian matrix বানানো
discriminant ব্যবহার
convexity-র সাথে যোগ

পূর্বপ্রয়োজন

পার্শিয়াল, eigenvalue অন্তর্দৃষ্টি।

Hessian

H=[[f_{xx},f_{xy}],[f_{yx},f_{yy}]]

Symmetric (Clairaut)। eigenvalue-গুলো principal curvature নির্দেশ করে।

দ্বিতীয় অন্তরজ পরীক্ষা (2D)

D=f_{xx}f_{yy}−(f_{xy})²

D>0, f_{xx}>0: local minimum।
D>0, f_{xx}<0: local maximum।
D<0: saddle point।
D=0: inconclusive — higher order দরকার।

Convexity ও AI

H positive semi-definite (সব eigenvalue ≥0) ⇔ convex। Loss landscape-এ Hessian-এর spectrum training dynamics নির্ধারণ করে; Newton's method H⁻¹∇f ব্যবহার করে।