পর্ব ৬ · অন্তরজের সূত্র

চেইন রুল

ক্যালকুলাসের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সূত্র—এআই-এর হৃদয়

শেখার লক্ষ্য

কম্পোজিট ফাংশন f(g(x))-এর অন্তরজ গণনা করতে পারবে।
Leibniz নোটেশনে dy/dx = dy/du · du/dx ব্যবহার করতে পারবে।
Backpropagation-এর সাথে চেইন রুলের সংযোগ বুঝবে।

সূত্র

d/dx [f(g(x))] = f′(g(x)) · g′(x)

Leibniz রূপ: যদি y = f(u) ও u = g(x), তবে

dy/dx = dy/du · du/dx

অন্তর্দৃষ্টি

ভিতরের ফাংশনে x একটু নাড়ালে u একটু বদলায়; সেই u-এর নড়াচড়া বাইরের f-কে নাড়ায়। মোট সংবেদনশীলতা = ভিতরের নড়াচড়ার হার × বাইরের প্রতিক্রিয়ার হার।

উদাহরণ

y = sin(x²): u = x², y = sin(u)। dy/dx = cos(x²) · 2x।

y = (3x + 1)⁵: dy/dx = 5(3x + 1)⁴ · 3 = 15(3x + 1)⁴।

y = e^(−x²): dy/dx = e^(−x²) · (−2x)।

এআই-সংযোগ: ব্যাকপ্রোপাগেশন

নিউরাল নেট = বহু কম্পোজিট স্তর: L(σ(W₃·σ(W₂·σ(W₁·x))))। প্রতিটি ওজনের ওপর লসের অন্তরজ গণনায় চেইন রুল স্তরে স্তরে গুণিত হয়—এটিই backpropagation।

∂L/∂W₁ = ∂L/∂a₃ · ∂a₃/∂a₂ · ∂a₂/∂a₁ · ∂a₁/∂W₁

সারসংক্ষেপ

Power, Product, Quotient, Chain—এই চার সূত্র মিলিয়ে প্রায় সব প্রাথমিক ফাংশন অন্তরযোগ্য। পরবর্তী পর্বে এদের প্রয়োগ: optimization, motion, related rates।