পর্ব ০ · গাণিতিক ভিত্তি

সেট ও গাণিতিক যুক্তি

আধুনিক গণিতের ব্যাকরণ—কোন বস্তু নিয়ে কথা বলছি এবং কোন দাবি সত্য?

শেখার লক্ষ্য

সেট, সাবসেট ও set-builder notation ব্যবহার
union, intersection, complement ও Cartesian product নির্ণয়
proposition, implication ও quantifier পড়া
De Morgan-এর সূত্র ও negation প্রয়োগ

পূর্বপ্রয়োজন

পাটিগণিতের মৌলিক ধারণা।

সেটের ভাষা

সেট হলো সুস্পষ্টভাবে নির্ধারিত বস্তুর সংগ্রহ। x ∈ A মানে x, A-এর সদস্য; x ∉ A মানে নয়। A ⊆ B হলে A-এর প্রতিটি সদস্য B-তেও আছে।

A = {২,৪,৬} = {x ∈ ℕ : x জোড় এবং x ≤ ৬}

শূন্য সেট ∅-এর কোনো সদস্য নেই।
Universal set U আলোচনার সব সম্ভাব্য বস্তু ধরে।
Power set 𝒫(A) হলো A-এর সব subset-এর সেট; |A|=n হলে |𝒫(A)|=2ⁿ।

সেটের অপারেশন

A ∪ B = {x:x∈A অথবা x∈B}, A ∩ B = {x:x∈A এবং x∈B}

Difference A∖B-তে A-এর সেই সদস্য থাকে যা B-তে নেই; complement Aᶜ = U∖A। Cartesian product A×B ordered pair বানায়—স্থানাঙ্ক ও বহু-চলকীয় ফাংশনের ভিত্তি।

Proposition ও implication

Proposition এমন বাক্য যার truth value সত্য বা মিথ্যা। P⇒Q শুধু তখনই মিথ্যা যখন P সত্য কিন্তু Q মিথ্যা। Converse Q⇒P মূল দাবির সমতুল্য নয়; contrapositive ¬Q⇒¬P সমতুল্য।

P ⇒ Q ≡ ¬P ∨ Q ≡ (¬Q ⇒ ¬P)

Quantifier: ∀ ও ∃

∀x P(x) মানে প্রত্যেক x-এর জন্য P সত্য; ∃x P(x) মানে অন্তত একটি x আছে।

¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x), ¬(∃x P(x)) ≡ ∀x ¬P(x)